奇妙的尺子_百度文库

  奇妙的尺子_其它_高等教育_教育专区。奇妙的尺子 Joseph Malkevitch 关键词: 哥隆尺, 优美图 假设你要测量一些物体的大小,你只要拿起一把直尺或卷尺就可以进行了。 现 在 许 多 尺 子 是 矩 形 的 ,两 边

  奇妙的尺子 Joseph Malkevitch 关键词: 哥隆尺, 优美图 假设你要测量一些物体的大小,你只要拿起一把直尺或卷尺就可以进行了。 现 在 许 多 尺 子 是 矩 形 的 ,两 边 均 带 刻 度 ,一 边 是 英 寸 ,一 边 是 厘 米 。在 美 国 , 英寸仍然是标准度量,虽然世界上几乎所有其他国家(除了黎巴嫩和缅甸) 都用米制。但一定意义上,尺子的设计方式不够简洁,比方说典型的一英尺 长 尺 子 上 , 0, 1, 2, 3,.... , 12 处 都 标 有 刻 度 , 然 而 实 际 上 我 们 并 不 需 要 所有这些刻度。下面我会更加具体一点地说明这个论点。 下图为一把常规尺子的一部分,其上以 0 到 7 这些数字标记了等间距区间。 若 要 量 取 4 英 寸 的 长 度 , 可 以 用 0 到 4, 1 到 5, 2 到 6 或 3 到 7 来 完 成 。 下图则展示了一把没有从 0 到 6 逐个整数处刻标记的尺子。 我 们 只 在 0, 1, 4, 与 6 处写出了标号,但其实这些标号也可以忽略。事实上,人们使用数字作 为尺子刻度的标记也是标准尺子的“污点”。 假设我们要测量从 1 到 k 每一个正整数大小的长度,希望沿着一条直边标记 刻度,使得从 1 到 k 的每一个正整数长度都可以通过尺上某两个刻度一次性 量好。我们想找到少于 k 个刻度点使得其刻度间的差能够度量从 1 到 k 的所 有数。这种能做到吗? 上 面 的 第 2 张 图 表 明 , 这 把 只 有 4 个 刻 度 的 尺 子 仅 一 次 就 能 够 度 量 1, 2, 3, 4, 5 和 6 中 的 任 何 一 个 长 度 。 另 一 方 面 , 这 一 结 论 并 不 能 推 广 到 上 一 段 提 出 的 任 意 k 的 情 形 。 可 以 验 证 只 有 当 k 为 1, 3, 6 时 , 满 足 条 件 的 尺 子 才 存 在 , 其上刻度分别位于: ? ? ? 0,或 1 0,1,和 3 0,1,4,和 6 稍后再详细讨论这一点。既然要度量从 1 到 k 的所有距离这一条件太严格, 或 许 更 合 理 的 要 求 是 : 一 把 n 刻 度 的 尺 子 , 第 一 个 刻 度 按 习 惯 对 应 于 0, 若 尺 上 每 一 对 刻 度 可 度 量 出 不 同 的 长 度 , 则 称 之 为 哥 隆 尺 ( Golomb Ruler ) 。 虽 然 第 一 个 、 最 后 一 个 刻 度 分 别 在 0 和 m 处 的 哥 隆 尺 不 能 度 量 1, 2, ....,m 间所有的长度,但它能够度量的长度均不重复。哥隆尺上刻度的个数常称为 尺 的 阶 ( order ) , 而 最 大 的 刻 度 称 为 尺 的 长 度 ( length ) 。 下 图 是 一 把 有 5 个 刻 度 的 哥 隆 尺 ,我 们 称 之 为 长 度 为 11 的 5 阶 尺 。它 能 度 量 的 长 度 有 1,2,3,4,5,7,8,9,10 和 11 , 只 是 长 度 6 不 能 测 量 。 你 能 找 到 另 一 把 不 能 测 量 长 度 10 的 同 样 长 度 为 11 的 5 阶 哥 隆 尺 吗 ? 确 实 存 在 另 外 的 有 5 个 刻 度 的 哥 隆 尺 。 它 在 0, 2, 7, 8 以 及 11 处 有 刻 度 。 这 把 尺 可 以 度 量 除 了 10 之 外 从 1 到 11 的 所 有 长 度 。 因 此 , 我 们 看 到 这 两 把 尺子不可能“同构”(最后这个词指它们是本质上相同的尺子),因为它们 各自所有能测量的距离集合中都只缺少一个不同的数。(第二把尺子有另外 的 版 本 : 在 0, 3, 4, 9 以 及 11 处 有 刻 度 。 这 把 尺 子 与 第 一 把 等 价 。 ) 不 能 测 量 同 样 的 n 个 长 度 但 又 不 等 价 的 尺 子 存 在 吗 ? 注 意 到 若 要 度 量 长 度 为 1, 2,...,6 这 些 长 度 , 我 们 可 取 一 把 有 4 个 刻 度 的 尺 子 。 然 而 , 为 度 量 从 1 到 10 的 全 部 长 度 , 我 们 不 能 取 只 有 5 个 刻 度 的 尺 子 , 因 为 只 有 5 个 刻 度 的 尺 子 不 能 度 量 6 或 10 。 下 面 是 有 6 个 刻 度 互 不 等 价 的 尺 子 : ? ? ? ? 0 1 4 10 12 17 0 1 4 10 15 17 0 1 8 11 13 17 0 1 8 12 14 17 注意到这些尺子都可以度量从 1 到 7 的长度。任意一把这样的 6 阶尺即(带 6 个刻度)可以度量从 1 到 7 的所有整数,但不是所有的尺子都能度量从 1 到 8 的 所 有 整 数 。同 时 ,第 一 、第 三 把 尺 子 能 测 量 从 1 到 17 的 所 有 整 数 ,只 是 都 不 能 度 量 14 和 15 , 这 说 明 不 等 价 的 尺 子 也 可 以 不 能 测 量 同 样 的 距 离 。 哥 隆 尺 是 以 所 罗 门 ? 哥 隆 ( Solomon Golomb ) 的 名 字 来 命 名 的 。 哥 隆 曾 在 约 翰 ·霍 普 金 斯 大 学 与 哈 佛 大 学 学 习 数 学 ; 他 的 哈 佛 博 士 论 文 研 究 素 数 。 他 在 编码理论与数论方面做出过重要贡献。因其在这些领域的重要工作,他获得 过 IEEE 汉 明 奖 (Hamming Medal) 。他 的 研 究 集 中 于 与 通 信 理 论 相 关 的 问 题 上 , 并表现出非常广泛的应用数学与纯粹数学兴趣。 Solomon Golomb 哥 隆 也 以 发 明 多 联 骨 牌( polyomino )而 闻 名 ,这 是 源 自 1x1 的 正 方 形 边 对 边 粘 连 的 几 何 图 形 。 下 图 是 12 种 可 能 的 五 联 骨 牌 之 一 : 本文不仅仅是探索哥隆尺这一迷人的数学领域,还要介绍数学家们探索问题 时如何通过数学得到丰富的思想与工具。世间万物都有联系,希望通过介绍 哥隆尺研究的外围思想使读者能体味到数学的乐趣与刺激。 起讲 让我们从一点组合计数开始。假设尺上有 k 个刻度,用这把尺子来测量的不 同距离的最大数目是多少?若任意一对刻度可测得不同的距离,就可以得到 这个最大数目。那么有多少种方式从 k 个刻度中取出两个刻度呢?这即是熟 知的从 k 个东西中取出两个对象(不考虑顺序)的取法个数,这个数常如下 表示并计算: kC2=k(k?1)/2 选取第一个刻度有 k 种方法, 选 取 第 二 个 刻 度 有 k-1 种 方 法 , 因 此 共 有 k(k-1) 种方法来先后选取两个刻度。这里我们除以 2 是因为在计数中我们并不关心 选取的先后次序。 另一个记法是使用二项式系数: (k2)=k(k?1)/2 这两种表示都给出了从 k 个东西中不计先后次序同时取出两个东西的方法 数 。例 如 ,用 5 个 刻 度 ,人 们 最 多 可 以 测 量 10 个 不 同 的 距 离 ;而 6 个 刻 度 则 最 多 可 以 测 量 15 个 不 同 的 距 离 。 前面我提问是否能够找到其它有 5 个刻度的哥隆尺。这就引出了什么时候两 个 哥 隆 尺 “ 等 价 ” 或 “ 相 同 ” 的 问 题 。 我 们 见 到 在 0, 1, 4, 9 和 11 处 标 记 刻 度 , 可 得 到 有 5 个 刻 度 的 哥 隆 尺 。 我 们 也 可 以 在 0, 2, 7, 10 和 11 处 标 记 刻 度 。 它 可 以 测 量 的 长 度 有 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10 和 11 。 这 个 刻 度 集可以从第一个刻度集得到:只需以相反的方向来读这些刻度。也就是说, 把 最 右 边 的 刻 度 看 成 0, 那 么 紧 接 着 的 就 是 1, 之 后 就 是 4, 等 等 。 因 此 , 虽 然 这 两 尺 的 刻 度 标 记 不 相 同 , 但 本 质 上 是 相 同 的 。 两 把 尺 都 不 能 测 量 数 6。 只 有 6 个 刻 度 的 尺 子 最 多 能 度 量 15 个 不 同 的 数 (6 × 5/2=15) , 再 考 虑 到 有 6 个 刻 度 的 最 短 哥 隆 尺 的 最 后 一 个 刻 度 在 17 处 这 一 事 实 ,可 知 每 把 这 样 的 尺 子 会忽略掉 2 个长度,这可从上述全部带 6 个刻度的最短尺中验证。 对每一个有 n 个刻度的哥隆尺,我们可以以如下方式得到一个长度表,按定 义其中的长度必须各不同。表的第一行由相邻刻度取差(大的刻度减去小的 刻度)得到,第二行由两个单元的刻度取差得到,依次类推。 差 集 ( difference sets ) 的 使 用 在 组 合 与 几 何 学 中 有 着 很 长 的 历 史 , 它 也 与 区 组 设 计 ( block designs ) 以 及 仿 射 、 投 影 平 面 的 构 造 有 关 系 。 一种考虑哥隆尺的方法是将尺上的每一个刻度表示为图的顶点,而每个顶点 用尺上该刻度与 0 的距离来标号。因此,标号为 4 的顶点意味着在尺上位 于 4 的 位 置 有 一 个 刻 度 。然 后 任 取 图 上 两 个 顶 点 并 以 边 来 连 接 它 们 ,而 边 上则以两个顶点标号之差(绝对值)来标号。比方说,给定标号 4 和 6 两个 顶 点 , 我 们 将 其 边 标 号 为 2。 本文第二张图是一把特别的哥隆尺。只用 4 个刻度就可以度量全部连续整数 1,2,3,4,5,6 。 若 一 把 哥 隆 尺 具 有 这 样 的 性 质 , 则 称 之 为 完 美 ( perfect ) 哥 隆尺。但实际上完美哥隆尺很少——最大的尺子只能有 4 个刻度。 哥隆尺的要点是它可以表示不同的距离。但这也意味着某些距离不能用 5 个 或更多个刻度(因为没有 4 个以上刻度的完美哥隆尺)的哥隆尺来度量。这 就引起了其他类型尺子的研究,较少刻度的尺子要么测量的距离有重复,要 么个别长度被忽略。 我 们 所 说 的 尺 子( ruler )是 指 从 0 开 始 递 增 的 不 重 复 的 整 数 刻 度 序 列 。尺 子 上 的 最 后 刻 度 为 其 长 度 L ,而 相 邻 刻 度 间 的 距 离 称 为 一 段( segment )。因 此 , 若 尺 上 有 m 个 刻 度 , 则 该 尺 有 m-1 段 。 如果一把尺子能测量从 1 到其长度 L 之间所有的距离,则称之为完全 ( complete ) 的 。 一 般 情 况 下 , 完 全 尺 总 要 重 复 度 量 某 些 距 离 。 一 把 尺 子 称 为 完 美( perfect )的 表 示 它 既 是 完 全 的 ,又 不 存 在 同 等 长 度 但 刻 度 数 更 少 的 完全尺。如果不存在刻度数相同但长度更长的完美尺,则这把尺子称为最优 的 ( optimal ) , 稀 疏 尺 ( sparse ruler ) 表 示 有 某 些 刻 度 缺 失 , 但 仍 能 度 量 从 1 到 其 长 度 的 所 有 距 离 。Wichmann 尺 是 一 种 特 殊 类 型 的 尺 子 ,不 总 是 最 优 , 但 还 没 发 现 长 度 超 过 68 的 最 优 尺 不 是 Wichmann 尺 的 例 子 。 还 有 的 尺 子 不 是 在 直 线 上 而 是 在 圆 圈 ( circle ) 上 标 记 刻 度 。 寻求最优哥隆尺是一计算难题。最新的一个动向是利用网络协作的方式来寻 求更多最优尺。哥隆尺列表中一个吸引人的问题是:何时有许多相同刻度数 的最优尺?例如,存在 5 个不等价的有 7 个刻度的最优尺。目前已经确定为 最 优 、 最 长 的 哥 隆 尺 有 26 个 刻 度 : 0 1 33 83 104 110 124 163 185 200 203 249 251 258 314 318 343 356 386 430 440 456 464 475 487 492 优美图 一 个 图 是 由 一 些 称 为 顶 点( vertice )的 点 和 称 为 边( edge )的 线 段 组 成 的 图 形 。 每 对 顶 点 都 有 边 相 连 的 图 则 称 为 完 全 图 ( complete graph ) 。 下 图 是 一 个有 5 个顶点的完全图。 图 中 与 顶 点 相 连 的 边 的 数 目 称 为 该 顶 点 的 度 ( degree ) 。 上 图 中 每 个 顶 点 的 度 都 是 4。 有 n 个 顶 点 的 完 全 图 的 每 一 个 顶 点 的 度 都 是 n-1 。 因为有 n 个顶点, 而 每 条 边 恰 好 有 两 个 端 点 , 完 全 图 中 边 的 数 目 为 n(n-1)/2 。 这 个 表 达 式 应 该 使你想起有 k 个刻度的尺子上可测量的不同长度数目的公式。让我们从 0 开 始给完全图上每个顶点赋予非负整数。接着给图的每一边以边的两个端点上 的标号之差的绝对值来标号。若我们将所有的边从 1 开始以整数标号,则我 们 说 此 完 全 图 已 被 优 美 标 号 ( gracefully labeled ) 。 更 一 般 地 , 若 G 是 任 意连通图(在连通图上可以沿着图上的边在任意一对顶点之间移动),则 G 有优美标号,则必须可 0 到 m 中的数字给顶点标号并满足以下条件: ? ? ? 1. 不同的顶点标号不同; 2. 图上每一条边以该边两顶点之标号差的绝对值来标识; 3. 从 1 到 m 的整数在边的标号中仅使用一次。 下 图 为 一 个 优 美 标 号 的 4 循 环 ( 4-cycle ) 。 如 果 对 n 个 顶 点 的 完 全 图 给 出 优 美 标 号 ,则 我 们 就 有 方 法 构 造 有 n 个 刻 度 的 完美哥隆尺!下图就是这样一个有 4 个顶点且有优美标号的完全图。 再 次 注 意 到 一 个 有 k 顶 点 的 完 全 图 恰 好 有 k(k-1)/2 条 边 , 这 是 用 k 个 刻 度 来表示哥隆尺的正确边数。 现 在 的 问 题 是 :这 个 图 论 方 法 能 帮 助 我 们 寻 找 哥 隆 尺 吗 ? 让 我 们 回 头 考 虑 只 有 2 个和 3 个顶点的完全图。 有 2 个 刻 度 0,1 的 哥 隆 尺 对 应 于 下 图 所 示 的 有 2 个 顶 点 的 完 全 图 : 具 有 三 个 刻 度 0, 1, 3 的 哥 隆 尺 对 应 于 下 图 所 示 有 3 个 顶 点 的 完 全 图 。 根 据 图 标 号 的 观 点( 或 其 他 组 合 方 法 ),可 以 得 知 没 有 多 于 4 个 刻 度 的 完 美 哥 隆 尺。 树 是 没 有 回 路( 起 点 和 终 点 都 相 同 的 必 同 路 )的 连 通( 可 以 沿 着 图 上 的 边 在 任意一对顶点间移动)图。下图所示为叫做路径的特殊树。 这 实 际 上 是 称 为 毛 虫 树 ( caterpillar ) 的 特 殊 树 。 毛 虫 树 可 以 通 过 在 一 条 路 径 上 选 取 顶 点 ,并 在 顶 点 上 粘 连 一 些 边 来 得 到 。下 图 是 一 个 长 度 为 6 的 例 子: 注意到任意树上边数恰好比顶点数少 1, 实际上是著名的欧拉公式: 顶点数+面数?边数 =2 应用于画在平面上的图,且图上的边交于顶点的一个特例。有趣的是,所有毛虫树 都有优美标号。 基 于 上 面 两 图 所 示 的 标 号 ,或 许 你 可 以 得 出 对 毛 虫 树 的 顶 点 进 行 优 美 标 号 的 算法或程序。 数 学 中 有 许 多 陈 述 简 单 但 极 端 难 解 的 猜 想 。 1964 年 Gerhard Ringel 提 出 了 这样一个问题: 给 定 一 个 有 s 条 边 的 树 T , 总 可 以 将 2s+1 个 顶 点 上 的 完 全 图 分 解 为 2s+1 个 T 的同构拷贝。 同 一 年 也 出 现 了 如 下 由 Ringel 和 Anto n K?tzig 提 出 的 猜 想 : 每棵树皆有优美标号。 和上述两个问题相关的易于陈述但非常漂亮的结果是: 定 理 (Rosa) 若 T 为 一 个 有 s 条 边 可 优 美 标 号 的 树 , 则 有 2s+1 条 边 的 完 全 图 可 被 分 解 为 2s+1 个 T 的 备 份 。 图 的 优 美 标 号 是 本 身 就 很 有 意 思 的 一 个 问 题 。已 知 可 以 优 美 着 色 的 重 要 图 类 有 : n 方 体 ( n-cube ) , 轮 ( wheel ) 与 网 图 ( grid graph ) 。 很多问题与我们已经介绍的想法有关。换个思路,如果使用多把尺子如何 呢 ? 下 图 是 两 个 有 4 个 顶 点 且 带 标 号 的 完 全 图 。每 一 个 都 是 可 以 测 量 不 同 的 距 离 的 尺 子 。其 中 一 把 在 0,8,9,12 处 有 标 记 ,可 测 的 距 离 为 1,3,4,8,9,12 ; 第 二 把 在 0,6,11,13 处 有 标 记 , 可 以 测 量 的 距 离 为 2,5,6,7,11,13 。 放 到 一 起 , 这 两 把 尺 子 可 以 测 量 12 个 距 离 , 仅 不 能 度 量 10 。 注 意 到 不 会 把 不 同 的 尺 子 在 相 同 的 刻 度 t 处 结 束 , 否 则 两 尺 均 能 度 量 t, 这 将 导 致 重 复 。 (a) (b) 因 为 大 于 4 的 顶 点 的 完 全 图 不 可 能 优 美 标 号 ,另 一 个 自 然 的 问 题 是 :要 从 这 种 完 全 图 上 去 掉 最 少 多 少 条 边 ,才 可 使 得 该 图 有 优 美 标 号 ? 例 如 ,对 有 5 个 顶点的完全图,去掉下图中的一条边就可以达到这一目的。 容 易 验 证 ,从 这 个 顶 点 标 号 方 法 可 得 到 边 上 从 1 到 9 的 标 号 。这 可 能 使 人 以 为 通 过 在 尺 上 0,1,4,7 和 9 处 标 记 刻 度 就 可 以 得 到 哥 隆 尺 。 但事实并非如此, 因 为 4 与 1 的 差 与 顶 点 标 号 4 与 7 的 差 相 同 。你 或 可 以 自 行 尝 试 给 有 6 个 顶 点 的 完 全 图 进 行 标 号 ,并 试 图 去 掉 某 2 条 边 以 得 到 完 美 标 号 。人 们 提 出 并 研 究 了 许 多 其 它 类 型 的 标 号( graph-labeling )问 题 ,很 多 这 样 的 问 题 至 今 未 解决。 意外联系 1944 年 两 位 著 名 的 匈 牙 利 数 学 家 写 了 一 篇 数 论 文 章 , 其 中 用 了 另 一 个 匈 牙 利 数 学 家 Simon Sidon 的 思 想 。 这 两 位 数 学 家 是 保 罗 ·厄 多 士 (Paul Erd?s) 与 Paul Tur á n , 他 们 讨 论 了 现 今 称 为 Sidon 序 列 的 序 列 。 Paul Erd ? s( 右 ) 与 Paul Tur á n 一 个 序 列 (a0,a1,? )中 如 果 没 有 任 何 一 对 和 ai+aj(i≤j)相 同 , 则 称 之 为 Sidon 序 列 。 Sidon 被 引 向 研 究 这 类 序 列 是 因 其 与 他 在 做 的 关 于 傅 里 叶 级 数 方 面 的 工 作 有 关 。 人 们 对 Sidon 序 列 集 最 感 兴 趣 的 是 对 一 个 给 定 的 数 x , Sidon 集 中 有 多 少 个 元 素 比 x 小 。 此 类 问 题 具 然 很 难 , 1944 年 文 章 中 的 问 题 进 展 也 很 缓 慢 。厄 多 士 与 Tur á n 在 其 文 章 中 给 出 了 一 个 构 造 哥 隆 尺 的 方 法 。对 每 一 个 0 与 p-1 之 间 的 整 数 k , 其 中 p 是 素 数 , 计 算 2pk+(k2 除以 p 的余数)。 比 如 p=5 时 : ? ? ? ? ? k=0; k=1; k=2; k=3; k=4; 2(5)(0) + 0 = 0 . 2(5)1 + 1 = 11 . 2(5)2 + 4 = 24 . 2(5)3 + 4 = 34 . 2(5)4 + 1 = 41 . 结 论 是 0,11,24,34,41 形 成 哥 隆 尺 。 这 可 通 过 计 算 其 差 来 简 单 检 验 : 11,24,34,41,13,23,30,10,17 与 7 ,且 注 意 到 它 们 各 不 相 同 。然 而 这 个 尺 不 是有 5 个刻度的最优尺。 有 意 思 的 是 ,直 到 最 近 才 有 人 注 意 到 Sidon 集 与 哥 隆 尺 间 有 趣 的 联 系 。事 实 上 , 有 限 Sidon 集 可 以 用 来 构 造 哥 隆 尺 , 反 之 亦 然 。 下 面 是 一 个 简 单 证 明 。 若 S 为 有 限 Sidon 集 ,则 S 生 成 一 把 哥 隆 尺 。假 设 S 为 有 限 Sidon 集 ,但 不 能 得 到 哥 隆 尺 。 这 意 味 着 S 中 必 有 4 个 元 素 使 得 ai?aj=ak?al。 由 此 可 知 ai+al=ak+aj。 然 而 , 这 与 Sidon 集 的 定 义 性 质 ( 每 一 对 和 都 不 同 ) 相 矛 盾 。 因此 S 可生成哥隆尺。 怪尺的用途 上 面 对 哥 隆 尺 与 完 美 标 号 的 介 绍 ,似 乎 仅 在 显 示 数 学 好 玩 而 已 ,确 实 ,由 于 这 些 问 题 本 身 的 魅 力 和 可 快 速 入 门 的 特 性 ,长 期 使 数 学 爱 好 者 感 到 兴 趣 。另 一方面,这些想法已经找到了令人惊讶并丰富多样的应用。 在 下 面 的 一 些 例 子 中 ,我 们 无 需 追 求 细 节 ,只 是 指 引 感 兴 趣 的 读 者 看 到 应 用 的一面。 ? ? ? ? * 对来自 X-射线晶体学的衍射图的理解 * 卷积码 * 雷达与声纳 * Costas 阵列 已 经 证 明 这 样 的 阵 列 在 设 计 雷 达 与 声 纳 系 统 时 有 用 。它 们 可 以 看 做 是 哥 隆 尺 的 2 维 推 广 。其 基 本 想 法 是 构 造 以 0 和 1 为 元 素 的 矩 阵 ,每 行 每 列 中 只 有 一 个 1, 且 任 意 一 对 矩 阵 元 素 中 为 1 的 位 置 向 量 ( 行 , 列 ) 之 差 都 不 相 同 。 这 样的矩阵是本身已经很有趣的置换矩阵的一个特别子类。 下 面 是 一 个 Costas 阵列: 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 其 中 感 兴 趣 元 素 的 坐 标 为 ( 行 号 由 下 到 上 , 列 号 从 左 到 右 ) :(1,2),(2,1),(3,3), 和 (4,4) , 注 意 到 这 些 向 量 之 差 (1,-1),(1,2),(1,1),(3,2) 等 各 不 相 同 。 ? * 模式匹配与信息检索 越 来 越 多 的 文 献 致 力 于 如 何 使 用 “ 种 子 ” (seeds) 来 寻 找 从 字 符 串 中 抽 取 模 式 的 有 效 方 法 。模 式 匹 配 在 数 据 挖 掘 、基 因 组 学 中 有 许 多 应 用 ,人 们 试 图 在 不 同 的 物 种 中 寻 求 重 要 的 DNA 链 。想 法 之 一 便 是 在 被 研 究 的 物 种 中 寻 找 在 其 它物种中已知为遗传密码的字符串。 同 步 光 电 探 测 器 编 码 ( codes to synchronize photodetectors ) ? ? ? ? * 雷达脉冲编码 * 导弹制导码 * 射频分配 * 射电天文学 这个应用涉及射电望远镜天线的安置。 哥 隆 尺 的 数 学 魅 力 及 其 大 量 的 应 用 方 式 ,促 使 人 们 对 这 一 诱 人 的 领 域 充 满 了 好奇,并投入了极大的兴趣。


发布时间:2019-11-03 12:36 发布者:admin